Einheitskreis/Längenform/Rückzug/Beispiel

Wir betrachten auf dem Einheitskreis

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

die Differentialform

${}\omega =-ydx+xdy\,.$

Unter der Parametrisierung des oberen Kreisbogens durch

${}\gamma (x)=(x,{\sqrt {1-x^{2}}})\,$

ist die zurückgezogene Differentialform gleich

${}{\begin{aligned}\gamma ^{*}\omega &=-{\sqrt {1-x^{2}}}dx+xd{\sqrt {1-x^{2}}}\\&=-{\sqrt {1-x^{2}}}dx-x{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx\\&=-{\frac {1-x^{2}+x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx\\&=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.\end{aligned}}$

Dies ist bis auf das Vorzeichen der Integrand zur Berechnung der Kurvenlänge des Graphen der Funktion ${}{\sqrt {1-x^{2}}}$, und dieser Integrand besitzt Arkussinus als Stammfunktion.

Zum Kreis gehört seine universelle Überlagerung

$p\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right).$

Auch bezüglich dieser Parametrisierung kann man die Differentialform ${}\omega$ zurückziehen und erhält

${}{\begin{aligned}p^{*}\omega &=-\sin td\cos t+\cos td\sin t\\&={\left(\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)}dt\\&=dt,\end{aligned}}$

also die konstante Differentialform auf ${}\mathbb {R}$. Dies ist nicht überraschend, da ja die trigonometrische Parametrisierung den Einheitskreis mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft und somit der zurückgelegte Weg proportional zur verstrichenen Zeit ist.