Einheitskreis/Längenform/Rückzug/Beispiel

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Wir betrachten auf dem Einheitskreis

die Differentialform

Unter der Parametrisierung des oberen Kreisbogens durch

ist die zurückgezogene Differentialform gleich

Dies ist bis auf das Vorzeichen der Integrand zur Berechnung der Kurvenlänge des Graphen der Funktion , und dieser Integrand besitzt Arkussinus als Stammfunktion.

Zum Kreis gehört seine universelle Überlagerung

Auch bezüglich dieser Parametrisierung kann man die Differentialform zurückziehen und erhält

also die konstante Differentialform auf . Dies ist nicht überraschend, da ja die trigonometrische Parametrisierung den Einheitskreis mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft und somit der zurückgelegte Weg proportional zur verstrichenen Zeit ist.