Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Parametrisierung

ist stetig, da sie komponentenweise durch rationale Funktionen gegeben ist. Sei ein Punkt des Einheitskreises. Der Punkt (der Punkt, der von der Parametrisierung nicht erfasst wird), ist selbst rational. Sei also , und sei eine reelle Zahl mit . Sei vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit gibt es dann auch ein derart, dass die Ballumgebung nach hinein abgebildet wird, also . Da die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen dicht liegen, gibt es eine rationale Zahl . Dann ist ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten, der in der -Umgebung von liegt.

Zur bewiesenen Aussage