Einheitskreis/Taylorpolynom/Grad 3/Aufgabe/Lösung

1. Aus der Kreisgleichung

   ${}x^{2}+y^{2}=1\,$

   folgt

   ${}y={\sqrt {1-x^{2}}}=:f(x)\,.$

2. Die Ableitung von ${}f$ ist

   ${}f'(x)={\frac {1}{2}}{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (-2x)=-x{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\,$

   und insbesondere ${}f'(0)=0$. Die zweite Ableitung ist

   ${}f^{\prime \prime }(x)=-{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}-x^{2}{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\,$

   und insbesondere

   ${}f^{\prime \prime }(0)=-1\,.$

   Da ${}f$ eine gerade Funktion ist, ist die dritte Ableitung ungerade und deshalb ist

   ${}f^{\prime \prime \prime }(0)=0\,.$

   Das Taylorpolynom vom Grad ${}3$ ist somit

   $1-{\frac {1}{2}}x^{2}.$

Zur gelösten Aufgabe