Einheitskreis/Umklappen/Differenzierbar/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Verknüpfung von Abbildungen

$\mathbb {R} {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}S^{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,$

wobei

${}\theta (t)=(\cos t,\sin t)\,$

und ${}p_{1}$ die erste Projektion ist. Die trigonometrische Parametrisierung, die Inklusion (einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit) und die Projektion sind differenzierbar. Wäre ${}\varphi$ differenzierbar, so müsste auch die Gesamtabbildung differenzierbar sein. Diese ist aber

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \vert {\cos t}\vert .$

Diese ist an der Stelle ${}t=\pi /2$ nicht differenzierbar, da dort die linksseitige Steigung ${}-1$ und die rechtsseitige Steigung ${}1$ ist. Die Abbildung ${}\varphi$ ist also nicht differenzierbar.

Zur gelösten Aufgabe