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Einheitskreis/Umklappen/Differenzierbar/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten die Verknüpfung von Abbildungen

wobei

und die erste Projektion ist. Die trigonometrische Parametrisierung, die Inklusion (einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit) und die Projektion sind differenzierbar. Wäre differenzierbar, so müsste auch die Gesamtabbildung differenzierbar sein. Diese ist aber

Diese ist an der Stelle nicht differenzierbar, da dort die linksseitige Steigung und die rechtsseitige Steigung ist. Die Abbildung ist also nicht differenzierbar.