Einheitskreis/Winkel/Trigonometrischer Punkt/Einführung/Textabschnitt

Mit dem Begriff des Winkels ist die Vorstellung verbunden, dass man einen Vollkreis gleichmäßig in Sektoren bzw. die Kreislinie gleichmäßig in Abschnitte (Kreisbogen) unterteilen kann. Diese Vorstellung ist mit der Vorstellung verwandt, dass man das Einheitsintervall ${}[0,1]$ in ${}n$ gleichlange Stücke unterteilen kann. Allerdings kann man letzteres aufgrund der Strahlensätze durch eine einfache geometrische Konstruktion für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ durchführen für den Kreisbogen hingegen nur für einige wenige ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bei der Kreisunterteilung in ${}360$ Grad zerlegt man den Kreis in ${}360$ gleichgroße Sektoren. Im Bogenmaß nimmt man die Länge des gebogenen Kreisabschnittes als Winkelmaß. D.h. der volle Kreis entspricht ${}2\pi$ gemäß der Definition der Kreiszahl ${}\pi$, der Halbkreis (die beiden Sektorengrenzen liegen auf einer Geraden) entspricht ${}\pi$, der Viertelkreis entspricht ${}{\frac {\pi }{2}}$, der Achtelkreis entspricht ${}{\frac {\pi }{4}}$.

Definition

Der durch einen Kreisbogen der Länge ${}\alpha \in [0,2\pi ]$ definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.

Ein Winkel definiert einen eindeutigen Punkt auf dem Einheitskreis, wenn man von ${}(1,0)$ aus startet und gegen den Uhrzeigersinn den Kreisbogen entlang geht.

Ein Winkel, also die Länge eines zusammenhängenden Kreisbogenstücks, kann man grundsätzlich überall an den Kreisbogen anlegen. Wenn man Winkel untereinander vergleichen und studieren möchte, so wählt man den Punkt ${}(1,0)$ (also die ${}1$ auf der ${}x$-Achse) als Startpunkt und läuft den als Bogenmaßlänge ${}\alpha$ gegebenen Winkel gegen den Uhrzeigersinn entlang bis zu einem Punkt ${}P(\alpha )$ mit der Eigenschaft, dass die Bogenlänge von ${}(1,0)$ bis ${}P(\alpha )$ genau ${}\alpha$ ist.

Definition

Zu einem Winkel ${}\alpha$ (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in ${}(1,0)$ startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen ${}\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt ${}P(\alpha )$ zu diesem Winkel.

Diesen Punkt ${}P(\alpha )$ nennen wir auch den Standardpunkt zum Winkel ${}\alpha$. Durch ihn wird der Standardkreisbogen zum Winkel ${}\alpha$, nämlich der Kreisbogen von ${}(1,0)$ bis ${}P(\alpha )$, der Standardstrahl zum Winkel ${}\alpha$, nämlich die Halbgerade durch den Nullpunkt und den Standardpunkt, und der Standardsektor zum Winkel ${}\alpha$, nämlich der durch die ${}x$-Achse und den Standardstrahl gegebene Sektor, festgelegt. Diese Zuordnung kann man von ${}\alpha \in [0,2\pi [$ (worauf sie bijektiv ist) auf ganz ${}\mathbb {R}$ ausdehnen. Die Zahl ${}\alpha$ gibt einfach vor, welche Strecke man auf dem Einheitskreis durchlaufen muss. Bei negativem ${}\alpha$ läuft man mit dem Uhrzeigersinn los.

Zu einem Winkel ${}\alpha$ mit dem zugehörigen trigonometrischen Punkt ${}P(\alpha )$ zu ${}\alpha$ kann man das (senkrechte) Lot auf die ${}x$-Achse fällen und erhält dadurch ein rechtwinkliges Dreieck mit der Verbindungsstrecke zwischen Nullpunkt und trigonometrischem Punkt als Hypotenuse und mit einer Kathete auf der ${}x$-Achse. Man nennt dies das trigonometrische Dreieck zum Winkel ${}\alpha$. Die am Nullpunkt anliegende Kathete nennt man auch die Ankathete zu ${}\alpha$ und die gegenüberliegende Kathete nennt man die Gegenkathete zu ${}\alpha$ (diese Bezeichnungen sind nur bei Winkeln bis ${}\pi /2$ passend). Die (eventuell negativ genommenen) Längen dieser Katheten sind zugleich die Koordinaten des trigonometrischen Punktes. Mit den trigonometrischen Funktionen untersucht man die Abhängigkeit dieser Koordinaten vom Winkel (im Bogenmaß).

Definition

Zu einem Winkel ${}\alpha$ versteht man unter ${}\cos \alpha$ die erste Koordinate des trigonometrischen Punktes ${}P(\alpha )$.

Definition

Zu einem Winkel ${}\alpha$ versteht man unter ${}\sin \alpha$ die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes ${}P(\alpha )$.

Somit besitzt der trigonometrische Punkt ${}P(\alpha )$ die Koordinaten

${}P(\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )\,.$

Wenn ${}\alpha$ sämtliche Winkel durchläuft, durchläuft ${}P(\alpha )$ den Einheitskreis. Die Zuordnung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\alpha \longmapsto (\cos \alpha ,\sin \alpha ),$

bildet also eine „Parametrisierung“ des Einheitskreises, die auf ${}\mathbb {R}$ definiert ist, für den Nullwinkel ${}\alpha =0$ im Einspunkt ${}(1,0)$ startet und sich bei ${}\alpha =2\pi$ erstmalig wieder in diesem Punkt befindet.