Einheitskreis und Standardparabel/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

Die Standardparabel ist durch die Gleichung

${}y=x^{2}\,$

und der Einheitskreis ist durch die Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung ${}x^{2}$ in der zweiten Gleichung und erhalten

${}y^{2}+y-1=0\,.$

Also ist

${}y={\frac {-1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\,.$

Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist

${}y={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$

und

${}x=\pm {\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\,.$

Die beiden Schnittpunkte sind also

${}\left(-{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$ und ${}\left({\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$.

Zur gelösten Aufgabe