Einheitskugel/Geodätische/Großkreis/Beispiel

Wir befinden uns auf der Einheitskugel

${}Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

In ${}P\in Y$ befindet sich ein Teilchen, das einen Bewegungsimpuls in eine bestimmte tangentiale Richtung ${}v\in T_{P}Y$ erhält. Es bewegt sich also in diese Richtung (ungebremst und unbeschleunigt) weiter, wobei es allerdings immer auf der Kugel bleiben muss (wegen der Erdanziehung bzw. wegen dem festen Boden). Der Punkt sei durch ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ gegeben und der dazu senkrechte Tangentialvektor, der den momentanen Impuls beschreibt, durch

${}{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}\,,$

wobei ${}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$ ein zum Ortsvektor senkrechter Vektor mit Norm ${}1$ sei. Die Bewegung findet auf der durch diese beiden Vektoren bestimmten Ebene und auf der Sphäre statt. Eine parametrisierte Beschreibung ist

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \cos \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+\sin \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}.$

Es ist ${}\gamma (0)={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ und ${}\gamma '(t)=-a\sin \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+a\cos \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$, also ${}\gamma '(0)=a{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$.