Einheitskugel/Hyperfläche/Tangentialraum/Beispiel

Es sei

${}h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,$

und wir betrachten die Faser ${}Y$ zu ${}h$ über ${}1$, also die Kugeloberfläche zum Radius ${}1$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Das totale Differential ist ${}\left(2x,\,2y,\,2z\right)$, in einem jeden Punkt der Kugeloberfläche ist also zumindest ein Eintrag ungleich ${}0$ und daher ist ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär. Es sei ${}P=\left(a,\,b,\,c\right)\in Y$. Der Tangentialraum in ${}P$ ist durch die lineare Bedingung

${}ax+by+cz=0\,$

gegeben, das ist die Menge aller Vektoren, die orthogonal zum Gradienten ${}{\begin{pmatrix}2a\\2b\\2c\end{pmatrix}}$ stehen.