Einheitswurzeln/Endliche kommutative Gruppe/Existenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. $K$ besitzt eine $m$-te primitive Einheitswurzel.
2. Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von $m$ besitzt $K$ eine $p^r$-te primitive Einheitswurzel.
3. Zu jedem Teiler $n$ von $m$ besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
4. Zu jeder Ordnung $n$ eines Elementes $d\in D$ besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.

Eine Lösung erstellen