Einsetzen von Matrizen in Polynome/Aufgabe

Es sei ${}A\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ und ${}F=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {R} [X]$ ein reelles Polynom. Weiter sei ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor von ${}A$ zum Eigenwert ${}\lambda$.

1. Zeige, dass ${}v$ ein Eigenvektor von ${}F(A)$ zum Eigenwert ${}F(\lambda )$ ist.
2. Wenn ${}A$ diagonalisierbar ist, so auch ${}F(A)$.

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