Eisenbeis/Sprungrampe/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}r$ der Radius des Kreises, ${}\alpha$ der Winkel im Bogenmaß und ${}x$ wie in der Skizze. Dann gelten die Beziehungen

${}1,2=r\alpha \,,$

${}x+0,2=r\,,$

und

${}x=r\cos \alpha \,.$

Daraus ergibt sich (${}\alpha =0$ ist sicher keine Lösung)

${}r={\frac {1,2}{\alpha }}\,,$

${}x=r-0,2={\frac {1,2}{\alpha }}-0,2\,$

und somit

${}{\frac {1,2}{\alpha }}-0,2={\frac {1,2}{\alpha }}\cos \alpha \,.$

Multiplikation mit ${}{\frac {\alpha }{1,2}}$ ergibt

${}1-{\frac {1}{6}}\alpha =\cos \alpha \,$

bzw.

${}F(\alpha )=\cos \alpha +{\frac {\alpha }{6}}-1=0\,.$

Diese Funktion ${}F(\alpha )$ hat für ${}\alpha =0$

eine Nullstelle, die für das Problem aber irrelevant ist. An der Stelle ${}0$ ist die Funktion streng wachsend und an der Stelle ${}\pi /2$ besitzt die Funktion einen negativen Wert, nach dem Zwischenwertsatz muss es also im Intervall ${}]0,\pi /2[$ eine Nullstelle geben, die man mit einer Intervallhalbierung berechnen kann.

Zur gelösten Aufgabe