Eisenbeis und Knopfloch/Kuchen/Halbierung/Aufgabe/Lösung

Die Grundfläche des Kuchenstücks ist ${}{\frac {1}{12}}\pi 20^{2}$ . Deshalb soll der Inhalt des gleichschenkligen Dreiecks die Hälfte davon sein. Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks mit dem Winkel ${}30$ Grad und Schenkellänge ${}s$ (mit Höhe ${}h$ und Grundseite ${}g$ ) ist
${}{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}gh&={\frac {1}{2}}g{\sqrt {s^{2}-{\frac {g^{2}}{4}}}}\\&={\frac {1}{4}}g{\sqrt {4s^{2}-g^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s{\sqrt {4s^{2}-(2-{\sqrt {3}})s^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s^{2}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4-3}}s^{2}\\&={\frac {s^{2}}{4}}.\end{aligned}}$
Die Bedingung
${}{\frac {s^{2}}{4}}={\frac {1}{24}}\pi \cdot 20^{2}\,$

führt auf

${}s=20{\sqrt {\pi /6}}\,.$

Für die Länge der Schnittkante ergibt sich

${}g=20{\sqrt {\pi /6}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}=20{\sqrt {\frac {\pi (2-{\sqrt {3}})}{6}}}\,.$
Wir behaupten, dass sogar der Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks, das entsteht, wenn man das Kuchenstück auffüllt, auf der Eisenbeishälfte liegt. Dies gilt dann erst recht für den Schwerpunkt des Kuchenstücks. Die Kuchenspitze liege im Nullpunkt und die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks sei die ${}y$ -Achse. Die Höhe der Schnittkante liegt nach Teil (1) auf
${}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\cdot s={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\cdot {\sqrt {\pi /6}}\cdot 20\,.$

Die Höhe des Schwerpunktes des aufgefüllten Dreiecks ist (wie bei jedem Dreieck, vergleiche Fakt) gleich ${}{\frac {2}{3}}\cdot 20$ . Wir behaupten

${}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\cdot {\sqrt {\pi /6}}\cdot 20>{\frac {2}{3}}\cdot 20\,,$

was zu

${}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\cdot {\sqrt {\pi /6}}>{\frac {4}{3}}\,$

bzw. zu

${}(2+{\sqrt {3}})\cdot \pi /6>{\frac {16}{9}}\,$

bzw. zu

${}(2+{\sqrt {3}})\cdot \pi >{\frac {32}{3}}\,$

äquivalent ist. Wegen ${}{\sqrt {3}}>1,7$ und ${}\pi >3,1$ gilt in der Tat

${}(2+{\sqrt {3}})\cdot \pi >3,7\cdot 3,1=11,47>{\frac {32}{3}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe