Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Z und Q/Fakt

Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein (${}\mathbb {Z}$)

Es sei  ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in \mathbb {Z} [X]$  ein Polynom. Es sei  ${}p\in \mathbb {Z}$  eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass ${}p$ den Leitkoeffizienten ${}c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass ${}p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten ${}c_{0}$ teilt.

Dann ist ${}F$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen