Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

   derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$

   ist.
2. Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jede zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ die Beziehung

   ${}a^{\varphi (n)}=1\!\!\!\mod n\,.$

3. Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$.

Zur gelösten Aufgabe