Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$
Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$ . Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$ . Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$ .
Es sei ${}K$ ${}K$ ein Körper und ${}V$ ${}V$ ein ${}K$ ${}K$ -Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$ .
2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
3. Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung
  $u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}.$
4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.