Elementare Kombinatorik/Die Fakultät (N)/Einführung/Textabschnitt
Bei einem Tanzkurs mit Damen und Herren gilt heute beim Schneewalzer Damenwahl, wobei die Damen in der Reihenfolge ihrer Sitzordnung wählen dürfen. Die erste Dame hat Wahlmöglichkeiten, die zweite Möglichkeiten, die dritte Möglichkeiten, u.s.w., die vorletze Dame hat noch zwei Möglichkeiten und für die letzte Dame verbleibt eine Möglichkeit.
Definition
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von (sprich Fakultät).
Es ist . Man setzt . Für kleine erhält man die folgende Wertetabelle.
Lemma
Auf einer endlichen Menge mit Elementen
gibt es bijektive Abbildungen von nach .
Beweis
Wir zeigen etwas allgemeiner, dass es zwischen zwei endlichen Mengen und , die beide Elemente besitzen, bijektive Abbildungen gibt. Dies zeigen wir durch Induktion nach , wobei der Fall klar ist. Die Aussage sei nun für schon bewiesen und es liegen zwei -elementige Mengen und vor. Es sei ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Bilder genau Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge . Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von nach mit
den bijektiven Abbildungen von nach . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen und gleich
Gleichbedeutend damit ist, dass es Möglichkeiten gibt, Objekte auf Plätze zu verteilen, oder Möglichkeiten, eine Menge von Objekten abzuzählen
(durchzunummerieren).
Beispiel
Wir möchten eine vollständige Liste von allen bijektiven Abbildungen von der Menge in die Menge in der Form von Wertetabellen angeben. Wegen
gibt es sechs solche Abbildungen. Es gibt keine natürliche Reihenfolge dieser Abbildungen, dennoch kann man hier mehr oder weniger systematisch vorgehen. Beispielsweise kann man den Wert an der Stelle zuerst festlegen und dann die möglichen Kombinationen für und durchgehen. Dies führt auf die folgenden Wertetabellen.
