Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
2. Die Identität auf ${}M$ ist die Abbildung von ${}M$ nach ${}M$, die jedes Element ${}x\in M$ auf sich selbst abbildet.
3. Das Produkt ${}a\cdot b$ ist definiert als die ${}a$-fache Summe der Zahl ${}b$ mit sich selbst.
4. Das Element ${}a$ heißt das Minimum von ${}T$, wenn ${}a\in T$ ist und wenn ${}a\leq x$ für alle ${}x\in T$ gilt.
5. Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

   $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

   heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

   1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

      $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

   2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

      $g\circ e=g=e\circ g.$

   3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

      $h\circ g=g\circ h=e.$

6. Eine Funktion der Form

   $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

   mit einem festen ${}c\in K$ heißt lineare Funktion.

Zur gelösten Aufgabe