Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

1. Eine Menge $M$ heißt endlich mit $n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

   $\{1,\dots ,n\}⟶M$

   gibt.

2. Man nennt

   ${\Gamma }_F=\{(x,F(x))\mid x\in L\}\subseteq L\times M$

   den Graphen der Abbildung $F$.

3. Die Zahl $b$ heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_1,\dots ,a_k$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen $\ne 0$ der $a_1,\dots ,a_k$ das Kleinste ist.
4. Unter dem Nachfolger $N(x)$ einer ganzen Zahl $x\in \mathbb{Z}$ versteht man die Zahl

   $N(x):=\{\begin{array}{c}N(a),\text{ falls }x=a\in \mathbb{N},\\ -V(b),\text{ falls }x=-b\text{ mit }b\in {\mathbb{N}}_{+},\end{array}$

   wobei $N$ den Nachfolger auf $\mathbb{N}$ und $V$ den Vorgänger auf $\mathbb{N}$ bezeichnet.

5. Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:K\times K⟶K\text{ und }\cdot :K\times K⟶K$

   und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
      3. $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
      3. $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\ne 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
   3. Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
6. Zu einer rationalen Zahl $x$ ist die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ durch

   $\lfloor x\rfloor =n,\text{ falls }x\in [n,n+1[\text{ und }n\in \mathbb{Z},$

   definiert.

Zur gelösten Aufgabe