Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

1. Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte
   1. ${}A(0)$ ist wahr.
   2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.
   Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.
2. Es seien ${}n$ und ${}k$ positive natürliche Zahlen. Dann wird ${}n$ von ${}k$ genau dann geteilt, wenn für jede Primzahl ${}p$ die Beziehung

   ${}{\nu _{p}(n)}\geq {\nu _{p}(k)}\,$

   gilt.
3. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion

   $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

   zur Basis ${}b$ die folgenden Eigenschaften.

   1. Bei ${}b>1$ ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
   2. Bei ${}b<1$ ist die Exponentialfunktion streng fallend.

Zur gelösten Aufgabe