Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

1. Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte
   1. ${}A(0)$ ist wahr.
   2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.
   Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.
2. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
3. Die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ erfüllen die folgenden Eigenschaften.
   1. Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit ${}0$ als neutralem Element. Zu jedem ${}x\in \mathbb {Q}$ gibt es ein ${}y\in \mathbb {Q}$ mit

      ${}x+y=0\,.$

   2. Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit ${}1$ als neutralem Element. Zu jedem ${}z\in \mathbb {Q}$ , ${}z\neq 0$, gibt es ein ${}w\in \mathbb {Q}$ mit

      ${}z\cdot w=1\,.$

   3. Es gilt das Distributivgesetz.

Zur gelösten Aufgabe