Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

1. Eine Darstellung

   ${}w=a_{1}\cdot 1+a_{2}\cdot 2+a_{3}\cdot 5+a_{4}\cdot 10+a_{5}\cdot 20+a_{6}\cdot 50+a_{7}\cdot 100+a_{8}\cdot 200+a_{9}\cdot 500\,$

   ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind.
   

   a) Die Koeffizienten ${}a_{i}$, die sich auf ${}1,5,10,50,100$ beziehen, sind ${}\leq 1$.

   
   b) Die Koeffizienten ${}a_{i}$, die sich auf ${}2,20,200$ beziehen, sind ${}\leq 2$.

   
   c) Falls der Koeffizient, der sich auf ${}2$ (bzw. ${}20$ bzw. ${}200$) bezieht, gleich ${}2$ ist, so ist der vorhergehende Koeffizient (der sich also auf ${}1$ bzw. ${}10$ bzw. ${}100$ bezieht)

   gleich ${}0$.
2. Wenn ${}M$ eine Menge ist und wenn

   $\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

   und

   $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$

   bijektive Abbildungen sind, so ist

   ${}n=k\,.$

3. Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte
   1. ${}A(0)$ ist wahr.
   2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.
   Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.

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