Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   1. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$.
   2. Für jeden Standardvektor ${}e_{i}$ gibt es eine Darstellung als Linearkombination

      ${}e_{i}=\sum s_{j}v_{j}\,.$

   3. Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ ist das lineare Gleichungssystem

      ${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

      lösbar.

2. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte

   $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

   und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

   konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$.
3. Es sei

   ${}aX^{2}+bX+c=0\,$

   eine reelle quadratische Gleichung. Dann gilt folgendes Lösungsverhalten.

   1. Bei

      ${}b^{2}-4ac<0\,$

      gibt es keine reelle Lösung.

   2. Bei

      ${}b^{2}-4ac=0\,$

      gibt es die eine Lösung

      ${}x={\frac {-b}{2a}}\,$

   3. Bei

      ${}b^{2}-4ac>0\,$

      gibt es die beiden Lösungen

      ${}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe