Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

1. Durch die Festlegung

   ${}x\sim y\,,$

   wenn

   ${}f(x)=f(y)\,,$

   wird eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert.
2. Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl ${}q$ mit der Eigenschaft

   ${}n=q^{k}\,,$

   d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt ${}n$ keine ${}k$-te Wurzel.
3. Es sei ${}b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion

   $f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$

   ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe