Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Es seien ${}w_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, Elemente in ${}K^{m}$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   mit

   $\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$

   wobei ${}e_{i}$ den ${}i$-ten Standardvektor bezeichnet.
2. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
   1. Die Folge ist eine Nullfolge.
   2. Es gibt eine positive Zahl ${}\delta$ derart, dass ab einem gewissen ${}n_{0}$ die Abschätzung

      ${}x_{n}\geq \delta \,$

      für alle ${}n\geq n_{0}$ gilt.

   3. Es gibt eine positive Zahl ${}\delta$ derart, dass ab einem gewissen ${}n_{0}$ die Abschätzung

      ${}x_{n}\leq -\delta \,$

      für alle ${}n\geq n_{0}$ gilt.

3. 1. Es ist ${}\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
   2. Es ist ${}\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
   3. Es ist ${}\sin 0=0$, ${}\sin \pi /2=1$, ${}\sin \pi =0$, ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$.

Zur gelösten Aufgabe