Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

Es sei $K$ ein Körper und $m, n \in ℕ$ . Es seien $w_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ , Elemente in $K^{m}$ . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
$φ : K^{n} ⟶ K^{m}$

mit

$φ (e_{i}) = w_{i} für alle i = 1, \dots, n,$
wobei $e_{i}$ den $i$ -ten Standardvektor bezeichnet.
Es sei K ein angeordneter Körper und es sei (xn)n∈ℕ eine Cauchy-Folge in K. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
1. Die Folge ist eine Nullfolge.
2. Es gibt eine positive Zahl $δ$ derart, dass ab einem gewissen $n_{0}$ die Abschätzung
  $x_{n} \geq δ$
  
  für alle $n \geq n_{0}$ gilt.
3. Es gibt eine positive Zahl $δ$ derart, dass ab einem gewissen $n_{0}$ die Abschätzung
  $x_{n} \leq - δ$
  
  für alle $n \geq n_{0}$ gilt.
1. Es ist $\sin (x + 2 π) = \sin x$ für alle $x \in ℝ$ .
2. Es ist $\sin (x + π) = - \sin x$ für alle $x \in ℝ$ .
3. Es ist $\sin 0 = 0$ , $\sin π / 2 = 1$ , $\sin π = 0$ , $\sin 3 π / 2 = - 1$ und $\sin 2 π = 0$ .