Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Es seien ${}w_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, Elemente in ${}K^{m}$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   mit

   $\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$

   wobei ${}e_{i}$ den ${}i$-ten Standardvektor bezeichnet.
2. Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl ${}q$ mit der Eigenschaft

   ${}n=q^{k}\,,$

   d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt ${}n$ keine ${}k$-te Wurzel.
3. Es sei eine quadratische Gleichung in der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   gegeben und es seien ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ die Lösungen. Dann gilt

   ${}x_{1}+x_{2}=-p\,$

   und

   ${}x_{1}\cdot x_{2}=q\,.$

Zur gelösten Aufgabe