Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$ ${}K^{m}$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
1. Die Vektoren bilden eine Basis des ${}K^{m}$ .
2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$ , und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ${}v_{j}$ ist die triviale Darstellung
  ${}0=0\cdot v_{1}+\cdots +0\cdot v_{n}\,.$
3. Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ besitzt das lineare Gleichungssystem
  ${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$
  
  eine eindeutige Lösung.
Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.
Es seien ${}P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit ${}T\neq 0$ . Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit
$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$