Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	3	2	0	5	0	5	10	0	0	0	0	40

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Ring ${}R$.
2. Das Jacobi-Symbol.
3. Die Riemannsche Zetafunktion.
4. Die Norm zu einem Element ${}f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Eine quadratfreie Zahl.
6. Die Klassenzahl zu einem quadratischen Zahlbereich ${}R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
2. Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.
3. Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen ${}4369,4131,3383$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}5+2{\mathrm {i} }$ und ${}3+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in

$\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$

das Produkt

$(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$

(${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit ${}6$ Elementen.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)