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Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung
- Für eine ungerade Primzahl
gilt:
-
![{\displaystyle {}\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\-1\,,{\text{ sonst }}{\text{(also bei }}p=3\mod 4{\mbox{)}}\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753bdbd7912d392b0a1dd7e1a3fbf7cfcd7baa51)
- Es gilt die asymptotische Abschätzung
-
![{\displaystyle {}\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ae1471fa3f5ab3c029d5cce708e97879660022)
Das heißt
-
![{\displaystyle {}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665a3a4ba58942ac752ab3c1561ed0d9913d0c7e)
- Es sei
eine
quadratfreie Zahl
und
der zugehörige
quadratische Zahlbereich.
Dann ist die
Diskriminante
von
gleich
-
und
-
-