Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:

   ${}\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\-1\,,{\text{ sonst }}{\text{(also bei }}p=3\mod 4{\mbox{)}}\,.\end{cases}}\,$

2. Es gilt die asymptotische Abschätzung

   ${}\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$

   Das heißt

   ${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$

3. Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von ${}A_{D}$ gleich

   $\triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

   und

   $\triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

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