Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

1. Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:

   ${}\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox{)}}&\,.\end{matrix}}\right.\,$

2. Eine gerade Zahl ${}n$ ist genau dann vollkommen, wenn ${}n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit ${}2^{k}-1$ prim.
3. Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
   2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
   3. ${}R$ ist faktoriell.
   4. ${}R$ ist normal.
   5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

Zur gelösten Aufgabe