Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

Die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$ .
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Es sei ${}D\neq 0,1$ ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl ${}p$ ${}p$ die folgenden drei Möglichkeiten:
1. ${}p$ ist prim in ${}A_{D}$ .
2. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
3. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ ist mit ${}{\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$ .