Elliptische Kurve/Allgemeines kubisches Polynom/Verdoppelung/Aufgabe

Es sei

${}Y^{2}=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes ${}(x,y)$ mit ${}y\neq 0$ durch

${}2(x,y)=\left(\alpha ^{2}-2x-r,\,\alpha ^{3}-3\alpha x-\alpha r+y\right)\,$

mit ${}\alpha ={\frac {3x^{2}+2rx+s}{2y}}$

gegeben ist.

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