Elliptische Kurve/Gruppenstruktur/Y^2 ist X^3-X/Torsionspunkte/Beispiel

Das reelle Bild der Kurve  $y^2=x^3-x$. 

Auf der durch  $y^2=x^3-x$  gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb{Q}$ nur die vier Punkte $(0,0),(1,0),(-1,0),𝔒$, die Torsionspunkte sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper $\mathbb{Q}[\mathrm{i}]$ betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist $(\mathrm{i},-1+\mathrm{i})$ ein weiterer Punkt, es ist ja

${(-1+\mathrm{i})}^2=-2\mathrm{i}={\mathrm{i}}^3-\mathrm{i}.$

Ferner ergibt sich der Punkt $(-\mathrm{i},1+\mathrm{i})$, und zwei weitere Punkte, da man $y$ durch $-y$ ersetzen kann.