Elliptische Kurve/Gruppenstruktur/Y^2 ist X^3-X/Torsionspunkte/Beispiel

Das reelle Bild der Kurve ${}y^{2}=x^{3}-x$.

Auf der durch ${}y^{2}=x^{3}-x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über ${}\mathbb {Q}$ nur die vier Punkte ${}(0,0),\,(1,0),\,(-1,0),\,{\mathfrak {O}}$, die Torsionspunkte sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist ${}({\mathrm {i} },-1+{\mathrm {i} })$ ein weiterer Punkt, es ist ja

${}{\left(-1+{\mathrm {i} }\right)}^{2}=-2{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }^{3}-{\mathrm {i} }\,.$

Ferner ergibt sich der Punkt ${}(-{\mathrm {i} },1+{\mathrm {i} })$, und zwei weitere Punkte, da man ${}y$ durch ${}-y$ ersetzen kann.