Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Direkt/Beispiel

Es sei ${}F$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}3$ in den Variablen ${}X,Y,Z$, das eine elliptische Kurve definiere.

Die Differentialform

$\pm {\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}$

und die entsprechend gebildeten Formen. Im Nenner steht die partielle Ableitung nach der Variablen, die im Differential rechts nicht vorkommt, und im Zähler steht das Quadrat der Variablen im Differential rechts im Nenner. Das Vorzeichen ist bei hinten ${}d{\frac {X}{Y}}$ und ${}d{\frac {Y}{Z}}$ positiv und bei ${}d{\frac {X}{Z}}$ negativ und dreht sich um, wenn man Zähler und Nenner vertauscht.

Wir behaupten, dass es sich stets um die gleiche Differentialform handelt. Wegen

${}d{\frac {X}{Y}}=-\left({\frac {X}{Y}}\right)^{2}d{\frac {Y}{X}}\,$

kann man die Zähler und Nenner im Bruch vertauschen. In ${}\Omega _{Q(K[X,Y,Z]/(F)){|}K}$ gilt (unter Verwendung von ${}dF=0$ und Aufgabe)

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial X}}d{\frac {X}{Y}}&={\frac {\partial F}{\partial X}}{\left({\frac {1}{Y}}dX-{\frac {X}{Y^{2}}}dY\right)}\\&={\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dX-{\frac {X}{Y^{2}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}{\left({\frac {\partial F}{\partial Y}}dY+{\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ\right)}-{\frac {X}{Y^{2}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ+{\frac {1}{Y^{2}}}{\left(-X{\frac {\partial F}{\partial X}}-Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ+{\frac {1}{Y^{2}}}{\left(Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)}dY\\&=-{\frac {\partial F}{\partial Z}}{\left({\frac {1}{Y}}dZ-{\frac {Z}{Y^{2}}}dY\right)}\\&=-{\frac {\partial F}{\partial Z}}d{\frac {Z}{Y}},\end{aligned}}$

woraus sich

${}{\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}=-{\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial X}}\,}}d{\frac {Z}{Y}}\,$

ergibt. Entsprechend gilt

${}{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {Y}{X}}=-{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\,}}d{\frac {Z}{X}}\,$

und somit auch

${}{\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}=-{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {Y}{X}}={\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\,}}d{\frac {Z}{X}}\,.$