Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/x-Koordinate/Bemerkung

Bei gegeben ${}x_{1},x_{2}$ ist ${}x_{3}$ nicht bestimmt, da es von ${}y_{1},y_{2}$ abhängt. Allerdings gibt es für ${}y_{1},y_{2}$ jeweils nur zwei Möglichkeiten, die jeweils negativ zueinander sind. Aus der Bedingung

${}x_{3}={\frac {ax_{1}+ax_{2}+2b-2y_{1}y_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\,$

ergibt sich

${}x_{3}(x_{1}-x_{2})^{2}-a(x_{1}+x_{2})-2b-x_{1}^{2}x_{2}-x_{1}x_{2}^{2}=-2y_{1}y_{2}\,$

und daraus

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,x_{3}^{2}(x_{1}-x_{2})^{4}-2(x_{1}-x_{2})^{2}{\left(a(x_{1}+x_{2})+2b+x_{1}^{2}x_{2}-x_{1}x_{2}^{2}\right)}x_{3}+a^{2}(x_{1}+x_{2})+4b^{2}+x_{1}^{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{4}\\&=4y_{1}^{2}y_{2}^{2}\\&=4(x_{1}^{3}+ax_{1}+b)(x_{2}^{3}+ax_{2}+b),\,\end{aligned}}$

d.h. ${}x_{3}$ erfüllt eine explizite quadratische Gleichung über einem von rational von ${}x_{1},x_{2}$ abhängigen Ausdruck.