Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Homogen/Geradenschnitt/Bemerkung

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form

${}Y^{2}Z=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}\,$

vorliegt. Zur Berechnung der Addition seien die beiden (verschiedenen) Punkte durch

${}P=(X_{1},Y_{1},Z_{1})\,$

und

${}Q=(X_{2},Y_{2},Z_{2})\,$

gegeben. Die verbindende Gerade ist dann

${}(Y_{1}Z_{2}-Y_{2}Z_{1})X+(-X_{1}Z_{2}+X_{2}Z_{1})Y+(X_{1}Y_{2}-X_{2}Y_{1})Z=0\,$

(einfach die beiden Punkte einsetzen). Sei

${}-X_{1}Z_{2}+X_{2}Z_{1}\neq 0\,.$

Dann können wir nach ${}Y$ bzw. ${}Y_{3}$ auflösen und erhalten mit

${}Y=rX+sZ\,$

die kubische Bedingung in zwei Variablen

${}X^{3}+aXZ^{2}+Z^{3}-(rX+sZ)^{2}Z=0\,.$

Davon sind ${}(Z_{1}X-X_{1}Z)$ und ${}(Z_{2}X-X_{2}Z)$ lineare Faktoren. Die Bedingung

${}X^{3}+aXZ^{2}+Z^{3}-(rX+sZ)^{2}Z=(Z_{1}X-X_{1}Z)(Z_{2}X-X_{2}Z)(Z_{3}X-X_{3}Z)\,$

führt auf  ${}Z_{1}Z_{2}Z_{3}=1$  und (Koeffizient von ${}X^{2}Z$)

${}r^{2}=X_{1}Z_{2}Z_{3}+X_{2}Z_{1}Z_{3}+X_{3}Z_{1}Z_{2}\,.$

Mit

${}r={\frac {Y_{1}Z_{2}-Y_{2}Z_{1}}{X_{1}Z_{2}-X_{2}Z_{1}}}\,$

folgt bei Multiplikation mit ${}Z_{1}Z_{2}$

${}{\left(Y_{1}Z_{2}-Y_{2}Z_{1}\right)}^{2}Z_{1}Z_{2}={\left(X_{1}Z_{2}-X_{2}Z_{1}\right)}^{2}{\left(X_{1}Z_{2}+X_{2}Z_{1}+X_{3}Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}\right)}\,.$