Elliptische Kurve/Multiplikation/Etaler Morphismus/Beispiel

Es sei ${}C$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und

$[n]\colon C\longrightarrow C,\,P\longmapsto nP,$

die ${}n$-te Multiplikationsabbildung. Dies ist stets eine endliche Abbildung, die darüber hinaus étale ist, wenn ${}n$ kein Vielfaches der Charakteristik des Grundkörpers ${}K$ ist. In diesem Fall liegt also eine Überlagerung (und zwar vom Grad ${}n^{2}$) der elliptischen Kurve durch sich selbst vor.

Bei ${}K=\mathbb {C}$ besitzen elliptische Kurven die Beschreibung ${}C=\mathbb {C} /\Gamma$, wobei ${}\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{2}$ ein (volles) Gitter in ${}\mathbb {C}$ ist (${}\mathbb {C}$ ist dann auch die universelle Überlagerung der elliptischen Kurve, deren topologische Fundamentalgruppe gleich ${}\mathbb {Z} ^{2}$ ist). Ein Punkt ${}P\in C$ wird durch einen Punkt ${}{\tilde {P}}\in \mathbb {C}$ in einer fixierten Gittermasche repräsentiert.

Die Multiplikationsabbildung ${}[n]$ liftet zur Multiplikationsabbildung auf ${}\mathbb {C}$, und wenn ${}P\in C$ durch den Punkt ${}{\tilde {P}}\in \mathbb {C}$ repräsentiert wird, so wird die Faser von ${}[n]$ über ${}P$ in der Gittermasche durch die ${}n^{2}$ Punkte

${\tilde {P}}+{\frac {i}{n}}v_{1}+{\frac {j}{n}}v_{2},0\leq i,j\leq n-1,$

repräsentiert, wobei ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ Erzeuger des Gitters seien. Die Multiplikation auf ${}C$ kann man auffassen als die (natürliche Restklassen)-Abbildung

$\mathbb {C} /\Gamma \longrightarrow \mathbb {C} /{\frac {1}{n}}\Gamma \cong \mathbb {C} /\Gamma .$

Die Gruppe ${}\Gamma /{\frac {1}{n}}\Gamma \cong n\Gamma /\Gamma \cong \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ operiert dabei auf ${}C$, indem eben ${}{\frac {i}{n}}v_{1}+{\frac {j}{n}}v_{2}$ zu einem repräsentierenden Punkt ${}{\tilde {P}}$ addiert wird, und diese Operation ist einfach transitiv auf den Fasern. Insgesamt liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}\mathbb {C} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&C\cong \mathbb {C} /\Gamma &\\&\searrow &\downarrow &\\&&C\cong \mathbb {C} /{\frac {1}{n}}\Gamma &\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

aus Überlagerungen vor.