Elliptische Kurve/Multiplikation/Etaler Morphismus/Beispiel

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Es sei eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und

die -te Multiplikationsabbildung. Dies ist stets eine endliche Abbildung, die darüber hinaus étale ist, wenn kein Vielfaches der Charakteristik des Grundkörpers ist. In diesem Fall liegt also eine Überlagerung (und zwar vom Grad ) der elliptischen Kurve durch sich selbst vor.

Bei besitzen elliptische Kurven die Beschreibung , wobei ein (volles) Gitter in ist ( ist dann auch die universelle Überlagerung der elliptischen Kurve, deren topologische Fundamentalgruppe gleich ist). Ein Punkt wird durch einen Punkt in einer fixierten Gittermasche repräsentiert.

Die Multiplikationsabbildung liftet zur Multiplikationsabbildung auf , und wenn durch den Punkt repräsentiert wird, so wird die Faser von über in der Gittermasche durch die Punkte

repräsentiert, wobei und Erzeuger des Gitters seien. Die Multiplikation auf kann man auffassen als die (natürliche Restklassen)-Abbildung

Die Gruppe operiert dabei auf , indem eben zu einem repräsentierenden Punkt addiert wird, und diese Operation ist einfach transitiv auf den Fasern. Insgesamt liegt das kommutative Diagramm

aus Überlagerungen vor.