Elliptische Kurve/Projektion auf projektive Gerade/Endlich/Beispiel

Es sei ${}F$ die kubische Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer homogener Weierstraßform, also ${}F=Y^{2}Z-X^{3}-aXZ^{2}-bZ^{3}$. Wir betrachten die Abbildung

$V_{+}(F)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,y).$

Diese ist die Einschränkung des Morphismus (einer Projektion weg von einem Punkt)

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0,1)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,y),$

und damit selbst ein Morphismus. Auf der affinen Gerade ${}D_{+}(x)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist diese Abbildung mit ${}U=Y/X$ und ${}V=Z/X$ gleich

$V(U^{2}V-1-aV^{2}-bV^{3})\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(u,v)\longmapsto u.$

Dies ist eine endliche Abbildung, da

${}K[U]\subseteq K[U,V]/(U^{2}V-1-aV^{2}-bV^{3})\,$

eine endliche Ringerweiterung mit der Basis ${}1,V,V^{2}$ ist. Auf der affinen Gerade ${}D_{+}(y)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist diese Abbildung mit ${}S=X/Y$ und ${}T=Z/Y$ gleich

$V(T-S^{3}-aST^{2}-bT^{3})\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto s.$

Dies ist ebenfalls eine endliche Erweiterung mit einer Basis aus ${}3$ Elementen.

Wir betrachten nun die Abbildung

$V_{+}(F)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z),$

die auf ${}D_{+}(Z)$ die Einschränkung des Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(0,1,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z),$

sei und die darüberhinaus ${}(0,1,0)$ auf ${}(1,0)$ abbildet. Die Stetigkeit ist klar. Auf der affinen Gerade ${}D_{+}(z)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist diese Abbildung mit ${}W=X/Z$ und ${}R=Y/Z$ gleich

$V(R^{2}-W^{3}-aW-b)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(w,r)\longmapsto w,$

was der endlichen Ringerweiterung

${}K[W]\subseteq K[W,R]/(R^{2}-W^{3}-aW-b)\,$

mit der Basis ${}1,R$ entspricht. Oberhalb von ${}D_{+}(x)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ betrachten wir nicht (die scheinbar natürlichere Definitionsmenge) ${}D_{+}(x)$, da dies ${}(0,1,0)$ nicht enthält, sondern ${}D_{+}(Y^{2}-bZ^{2})$. Der zugehörige Ring ist schwieriger zu beschreiben, aber auch endlich vom Grad ${}2$.