Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Endlicher Körper/Punkteanzahl/Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve, die durch

${}y^{2}=x^{3}+1\,$

gegeben ist, für verschiedene endliche Körper der Charakteristik  ${}p\geq 5$. 

Es sei  ${}K=\mathbb {Z} /(5)$.  Die rechte Seite der Gleichung ist durch

${}x$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}x^{3}+1$	${}1$	${}2$	${}4$	${}3$	${}0$

gegeben. Im Körper mit ${}5$ Elementen besitzen ${}0,1,4$ Quadratwurzeln und daher sind die Lösungen der Gleichung gleich

$(0,1),\,(0,-1),\,(2,2),\,(2,-2),\,(4,0),\,{\mathfrak {O}},$

also ${}6$ Stück, was genau mit ${}p+1$ übereinstimmt.

Es sei  ${}K=\mathbb {Z} /(7)$.  Die rechte Seite der Gleichung ist durch

${}x$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}x^{3}+1$	${}1$	${}2$	${}2$	${}0$	${}2$	${}0$	${}0$

gegeben. Im Körper mit ${}7$ Elementen besitzen ${}0,1,2,4$ Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich

$(0,1),\,(0,-1),\,(1,3),\,(1,-3),\,(2,3),\,(2,-3),\,(3,0),\,(4,3),\,(4,-3),\,(5,0),\,(6,0),\,{\mathfrak {O}},$

also ${}12$ Stück. Es ist

${}12-8=4\leq 2{\sqrt {7}}\sim 5,29\,,$

von der Hasse-Schranke her könnte es noch einen Punkt mehr geben, wir sind aber schon relativ nah an der oberen Schranke.

Es sei  ${}K=\mathbb {Z} /(11)$.  Die rechte Seite der Gleichung ist durch

${}x$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}-5$	${}-4$	${}-3$	${}-2$	${}-1$
${}x^{3}+1$	${}1$	${}2$	${}-2$	${}-5$	${}-1$	${}5$	${}-3$	${}3$	${}-4$	${}4$	${}0$

gegeben. Im Körper mit ${}11$ Elementen besitzen ${}0,1,3,4,5,-2$ Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich

$(0,1),\,(0,-1),\,(2,3),\,(2,-3),\,(5,4),\,(5,-4),\,(-4,5),\,(-4,-5),\,(-2,2),\,(-2,-2),\,(-1,0),\,{\mathfrak {O}},$

also ${}12$ Stück, was genau mit ${}p+1$ übereinstimmt. Von der Hasse-Schranke her, die bei kleinen Primzahlen ziemlich grob ist, wäre eine Lösungsanzahl zwischen ${}6$ und ${}18$ denkbar.