Endlichdimensionaler normierter Vektorraum/Matrixpotenzen/Letztlich periodisch/Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}{\mathbb {K} }$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. In der Folge ${}M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gibt es eine Wiederholung, d.h.

   ${}M^{n}=M^{m}\,$

   für ein Zahlenpaar ${}n<m$.

2. In der Folge ${}M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, kommen nur endlich viele verschiedene Matrizen vor.
3. Die Folge ${}M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, wird letztlich (also ab einer bestimmten Stelle) periodisch.
4. Die Jordanblöcke zu ${}M$ über ${}{\mathbb {C} }$ haben die Gestalt

   ${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

   oder ${}(\lambda )$ mit einer

   komplexen Einheitswurzel ${}\lambda$.

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