Endlichdimensionaler normierter Vektorraum/Matrixpotenzen/Letztlich periodisch/Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$ -Matrix über ${}{\mathbb {K} }$ . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

a) In der Folge ${}M^{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , gibt es eine Wiederholung, d.h.

{}M^{n}=M^{m}\,

für ein Zahlenpaar ${}n<m$ .

b) In der Folge ${}M^{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , kommen nur endlich viele verschiedene Matrizen vor.

c) Die Folge ${}M^{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , wird letztlich (also ab einer bestimmten Stelle) periodisch.

zu

{}M

über

{}{\mathbb {C} }

haben die Gestalt

{\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}

oder

{}(\lambda )

mit einer