Endliche Erweiterung/KX/Explizit/Relation über X invers/Aufgabe/Lösung

Wir multiplizieren die gegebene Ganzheitsgleichung mit ${}X^{-kn}$ und erhalten (im Quotientenkörper ${}Q$ von ${}K[X,Y]$ modulo Gleichung) die Gleichung

${}Y^{n}X^{-kn}+\sum _{i=0}^{n-1}P_{i}Y^{i}X^{-kn}=0\,.$

Dabei ist

${}Y^{n}X^{-kn}=(YX^{-k})^{n}\,$

und

${}P_{i}Y^{i}X^{-kn}=P_{i}Y^{i}X^{-ki}X^{-k(n-i)}=(YX^{-k})^{i}P_{i}X^{-k(n-i)}\,.$

Die Bedingung an ${}k$ stellt sicher, dass ${}P_{i}X^{-k(n-i)}$ ein Polynom in ${}X^{-1}$ ist. Somit ist die entstehende Gleichung eine Ganzheitsgleichung für ${}YX^{-k}$ über ${}K[X^{-1}]$. Diese ist in ${}K[X^{-1},YX^{-k}]$ irreduzibel, da man andernfalls durch Multiplikation mit ${}X^{kn}$ sofoert eine Zerlegung des Ausgangspolynoms finden würde. Dabei ist

${}K[X^{-1}][YX^{-k}]\subseteq Q\,,$

und Multiplikation mit ${}X^{k}$ zeigt, dass die Quotientenkörper übereinstimmen.

Zur gelösten Aufgabe