Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Aufgabe/Lösung

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik $0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Fakt nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit $p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass $K$ den Körper $\mathbb{Z}/(p)$ enthält. Damit ist aber $K$ ein Vektorraum über $\mathbb{Z}/(p)$, und zwar, da $K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei $n$ die Dimension,  $n\ge 1$.  Dann hat man eine $\mathbb{Z}/(p)$-Vektorraumisomorphie

$K\cong (\mathbb{Z}/(p){)}^n$

und somit besitzt $K$ gerade $p^n$ Elemente.

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