Endliche Körper/Erweiterung/Primitives Element/Potenz/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Untergruppenbeziehung

${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\subseteq {\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}^{\times }\,.$

Die Gruppen besitzen ${}p-1$ bzw. ${}q-1$ Elemente. Wegen

${}q-1=p^{e}-1=(p-1){\left(p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1\right)}\,$

besitzt die Restklassengruppe

${\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}^{\times }/{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$

genau

$p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1$

Elemente. Da alle beteiligten Gruppen zyklisch sind, ist der Restklassenhomomorphismus gleich

${\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(q-1)\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1),$

wobei der Erzeuger auf einen Erzeuger geht. Deshalb wird der Kern von ${}p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1$ erzeugt. Es ist also

$u^{p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1}$

die erste Potenz, die in ${}\mathbb {Z} /(p)$ liegt, und dieses ist ein primitives Element.

Zur gelösten Aufgabe