Endliche Körper/F125/Frobenius/Matrix/Aufgabe/Lösung

Das Polynom $X^{3} + X + 1 \in ℤ / (5) [X]$ ist irreduzibel, da es Grad $3$ hat und in $ℤ / (5)$ keine Nullstelle besitzt. Daher ist

L = ℤ / (5) [X] / (X^{3} + X + 1)

ein Körper mit $125$ Elementen, und die Restklassen von $1, X, X^{2}$ (die wir mit $1, x, x^{2}$ bezeichnen) bilden eine $ℤ / (5)$ -Basis von $L$ . Wir beschreiben den Frobenius bezüglich dieser Basis unter Verwendung von $x^{3} = - x - 1$ . Es ist

1^{5} = 1,

x^{5} = x^{2} (- x - 1) = - x^{3} - x^{2} = - x^{2} + x + 1 = 4 x^{2} + x + 1

und

\begin{matrix} (x^{2})^{5} & = x^{10} \\ = (- x^{2} + x + 1)^{2} \\ = x^{4} + x^{2} + 1 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \\ = x (- x - 1) - 2 (- x - 1) - x^{2} + 2 x + 1 \\ = - x^{2} - x + 2 x + 2 - x^{2} + 2 x + 1 \\ = - 2 x^{2} + 3 x + 3 \\ = 3 x^{2} + 3 x + 3. \end{matrix}

In den Spalten der beschreibenden Matrix stehen die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis, also ist die Matrix gleich

(\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{matrix}) .

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