Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt/Beweis

Beweis

Die Gleichung  ${}x^{2}=1$  hat in einem Körper nur die Lösungen ${}1$ und ${}-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für  ${}x\neq 1,-1$  immer  ${}x\neq x^{-1}$  ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

$1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$

schreiben. Ist  ${}-1\neq 1$,  so ist das Produkt ${}-1$. Ist hingegen  ${}-1=1$,  so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist  ${}1=-1$. 

Zur bewiesenen Aussage