a) Es ist
-
Also besitzt das Polynom
keine Nullstelle in
und ist somit irreduzibel, also ist
ein Körper. Die Restklassen von
bilden eine
-Basis, so dass dieser Körper
Elemente besitzt.
b) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)&=2T^{4}+4T^{3}+6T^{2}+3T+6\\&=4T+1+6T^{2}+3T+6\\&=6T^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a116e01fdc4aadb16ec9c6472db7fde4f2ea7a78)
c) Polynomdivision liefert
-
In
gilt somit
-
![{\displaystyle {}(T+1)(T^{2}+6T+1)=3\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2c65c5e3a9aba5720f47b6c9a598617eba0863)
Das Inverse von
![{\displaystyle {}3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7a2174affb51082c20e490892fef6992740387)
in
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997824601236924059b16a8d1081b8db4e217d49)
ist
![{\displaystyle {}5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a3ec40952d7486bcbd9c0534e6bf963ed4eab5)
, also ist
-
das Inverse von
![{\displaystyle {}T+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7d7a2ee75437bb71fc7c66828961f3e52273c0)
.