Endliche Körper/Z mod 7/T^3-2/343/Produkt (T^2+2T+4)(2T^2+5)/Inverses T+1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

$1^{3}=1,\,2^{3}=1,\,3^{3}=6,\,4^{3}=1,\,5^{3}=6,\,6^{3}=6.$

Also besitzt das Polynom ${}T^{3}-2$ keine Nullstelle in ${}\mathbb {Z} /(7)$ und ist somit irreduzibel, also ist ${}\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)$ ein Körper. Die Restklassen von ${}1,T,T^{2}$ bilden eine ${}\mathbb {Z} /(7)$-Basis, so dass dieser Körper ${}7^{3}=343$ Elemente besitzt.

b) Es ist

${}{\begin{aligned}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)&=2T^{4}+4T^{3}+6T^{2}+3T+6\\&=4T+1+6T^{2}+3T+6\\&=6T^{2}.\end{aligned}}$

c) Polynomdivision liefert

$T^{3}-2=(T^{2}+6T+1)(T+1)+4.$

In ${}K$ gilt somit

${}(T+1)(T^{2}+6T+1)=3\,.$

Das Inverse von ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist ${}5$, also ist

$5T^{2}+2T+5$

das Inverse von ${}T+1$.

Zur gelösten Aufgabe