Endliche Körpererweiterung/Hinführung zum Idealbegriff/Motivation/Textabschnitt

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Es sei eine endliche Körpererweiterung und ein Element. Dann sind die Potenzen , , linear abhängig, und das bedeutet, dass es Koeffizienten  mit mit gibt. Mit diesen Koeffizienten können wir das (von verschiedene) Polynom

bilden. Wenn man in dieses Polynom einsetzt, d.h. überall die Variable durch ersetzt, so ergibt sich . Das Ergebnis dieses Einsetzens bezeichnet man mit , es ist also . Man sagt, dass das Element annulliert. Wir betrachten die Menge

also die Menge aller Polynome, die bei Einsetzung von zu werden. Es ergeben sich dabei folgende Fragen.

  1. Welche Struktur besitzt ?
  2. Gibt es unter den Elementen besonders einfache Polynome, mit denen man einfach beschreiben kann?
  3. Kann man mit Hilfe von Eigenschaften von beschreiben?

Zu all diesen Fragen gibt es überzeugende Antworten. Zur ersten Frage können wir folgende Beobachtung machen: Das Nullpolynom gehört zu . Wenn zwei Polynome zu gehören, so gehört auch ihre Summe zu , es ist ja . Für und ein beliebiges Polynom ist auch , wegen .