Endliche Körpererweiterung/Hinführung zum Idealbegriff/Motivation/Textabschnitt

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und  ${}x\in L$  ein Element. Dann sind die Potenzen ${}x^{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, linear abhängig, und das bedeutet, dass es Koeffizienten ${}a_{i}\in K$ mit ${}a_{n}\neq 0$ mit  ${}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=0$  gibt. Mit diesen Koeffizienten können wir das (von ${}0$ verschiedene) Polynom

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\in K[X]\,$

bilden. Wenn man in dieses Polynom ${}x$ einsetzt, d.h. überall die Variable ${}X$ durch ${}x$ ersetzt, so ergibt sich ${}0$. Das Ergebnis dieses Einsetzens bezeichnet man mit ${}P(x)$, es ist also  ${}P(x)=0$.  Man sagt, dass ${}P$ das Element ${}x$ annulliert. Wir betrachten die Menge

${}I=\left\{P\in K[X]\mid P(x)=0\right\}\subseteq K[X]\,,$

also die Menge aller Polynome, die bei Einsetzung von ${}x$ zu ${}0$ werden. Es ergeben sich dabei folgende Fragen.

1. Welche Struktur besitzt ${}I$?
2. Gibt es unter den Elementen  ${}P\in I$  besonders einfache Polynome, mit denen man ${}I$ einfach beschreiben kann?
3. Kann man mit Hilfe von ${}I$ Eigenschaften von  ${}x\in L$  beschreiben?

Zu all diesen Fragen gibt es überzeugende Antworten. Zur ersten Frage können wir folgende Beobachtung machen: Das Nullpolynom gehört zu ${}I$. Wenn zwei Polynome ${}P_{1},P_{2}$ zu ${}I$ gehören, so gehört auch ihre Summe zu ${}I$, es ist ja  ${}(P_{1}+P_{2})(x)=P_{1}(x)+P_{2}(x)=0+0=0$.  Für  ${}P\in I$  und ein beliebiges Polynom  ${}F\in K[X]$  ist auch  ${}FP\in I$,  wegen  ${}(FP)(x)=F(x)\cdot P(x)=F(x)\cdot 0=0$.