Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}M$ leer ist, so besteht die Vereinigungsmenge ${}M\cup \{w\}$ nur aus dem einzigen Element ${}w$ und steht somit in Bijektion zu ${}\{1\}$. Allgemein liegt eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

vor. Wir definieren eine Abbildung

$\psi \colon \{1,\ldots ,n,n'\}\longrightarrow M\cup \{w\}$

durch

${}\psi (k):={\begin{cases}\varphi (k),{\text{ falls }}k\in \{1,\ldots ,n\}\\w,{\text{ falls }}k=n'\,.\end{cases}}\,$

Dies ist wohldefiniert. Die Abbildung ist surjektiv, da alle Elemente aus ${}M$ durch Elemente aus ${}\{1,\ldots ,n\}$ getroffen werden und da ${}w$ durch ${}n'$ getroffen wird. Die Abbildung ist auch injektiv. Wenn nämlich ${}j\neq k$ aus der Definitionsmenge sind, so ist, wenn beide zu ${}\{1,\ldots ,n\}$ gehören, direkt

${}\psi (j)=\varphi (j)\neq \varphi (k)=\psi (k)\,.$

Wenn hingegen ${}k=n'$ ist, so ist ${}\psi (j)\in M$ und

${}\psi (n')=w\neq \psi (j)\,.$

Zur gelösten Aufgabe