Endliche Mengen/1 bis k/Teilmenge/Endlich/Aufgabe/Kommentar
Der Sachverhalt ist „klar“. Es geht aber darum im Sinne der Vorlesung zu zeigen, wie man zu der beliebigen Teilemenge
einer bijektive Abbildung
angibt bzw. deren Existenz nachweist. Dies ist also eine Übung in Induktion, Definition von Abbildungen und zum Konzept bijektiv. Man kann es auch nicht als eine grundlegende mengentheoretische Aussage sehen, sondern als eine durchaus praktische Aussage über das nummerieren. Die Gesamtmenge liegt ja in einer durchnummerierten Form vor, jetzt hat man da aber einige Elemente davon rausgeschmissen (wie in Aufgabe) bzw. eine Teilmenge ist noch übrig, und dafür möchte man eine neue Nummerierung aufstellen. Die praktische Idee ist natürlich, die fehlenden Elemente zu überspringen und „intern“ weiter zu zählen. Diese Idee ist klar, es ist aber nicht klar, wie man daraus eine schlüssige Definition für die neue Abbildungsnummerierung macht.
Es ist nicht so einfach, einen geschlossenen Term für anzugeben, zumal nicht klar ist, in welchem Bereich wandert, da ja eben das noch nicht bekannt ist. (Beispiel: Sei und die Menge der Primzahlen unterhalb von . Was ist ? Was ist ?)
Deshalb wird die Existenz von und die Existenz von durch Induktion über bewiesen! Die Gesamtaufgabe, die Angabe eines , ist ziemlich schwierig, es ist aber relativ einfach, den Übergang zu verstehen, wenn man um eins erhöht. Im eben erwähnten Beispiel geht man so vor. Wenn man schon eine Bijektion zwischen und den Primzahlen hat, so kriegt man daraus auch leicht eine Bijektion zwischen und den Primzahlen durch eine Fallunterscheidung: Wenn diese neue Zahl, also die , keine Primzahl ist, so kann man die alte Nummerierung direkt übernehmen. Wenn es eine Primzahl ist, so ist und ergänzt die alte Nummerierung durch .
Aus dieser Beobachtung sollte man nun den allgemeinen Induktionsschluss formulieren können.
