Endliche Permutation/Zykellänge/Elemente/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}F(x)$	${}3$	${}5$	${}1$	${}7$	${}8$	${}2$	${}6$	${}4$

gegebene Abbildung ${}F$ von

${}M=\{1,2,\ldots ,8\}\,$

in sich selbst.

1. Erstelle eine Wertetabelle für  ${}F^{2}=F\circ F$. 
2. Erstelle eine Wertetabelle für  ${}F^{3}=F\circ F\circ F$. 
3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen ${}F^{n}$ bijektiv sind.
4. Bestimme für jedes  ${}x\in M$  das minimale  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  mit der Eigenschaft, dass

   ${}F^{n}(x)=x\,$

   ist.

5. Bestimme das minimale  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  mit der Eigenschaft, dass

   ${}F^{n}(x)=x\,$

   für alle  ${}x\in M$  ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen