Endliche freie Algebra/Spur eines Elementes/Beschreibung mit Dualbasis/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

${}fx_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}\,,$

die Multiplikationsmatrix zu ${}f$ ist also ${}{\left(c_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Dann ist direkt

${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{*}(fx_{i})\,.$

Zur bewiesenen Aussage